括号序列
EXY-PG-0247
题目描述
对于字符串 $S$ 与 $T$，如果从 $S$ 中删除任意多个字符可以得到 $T$，那么 $T$ 是 $S$ 的子序列。换言之，$T$ 是选取 $S$ 中的若干字符按下标顺序连接而成的。两个子序列不同当且仅当所选取的下标不同。
例如 sun 是 sequence 的子序列，因为从 sequence 中删除 eq、e 和 ce 可以得到 sun；sequence 有 $2^{8}$ 个不同的子序列，其中有空字符串，也有三个不同的子序列 e，因为 sequence 的第 $2,5,8$ 个字符都为 e，分别保留这三个字符得到的子序列是不同的。
对于字符串 $S$，如果 $S$ 满足以下条件那么 $S$ 是合法括号序列：
- $S$ 是空字符串，或者
- $S$ 可由
(、合法括号序列、)三者连接得到，或者 - $S$ 可由两个合法括号序列连接得到。
例如 ()、()()、(()) 和 (()()) 都是合法括号序列。但是 (()、)( 不是合法括号序列。
给定一个长度为 $n$ 的仅包含 ( 与 ) 的字符串 $S$。请你求出 $S$ 所有 $2^{n}$ 个子序列中有多少个合法括号序列。由于答案可能很大，请你输出答案对 $10^{9}$ 取模的结果。
例如，$S$ 为 ))(()( 时共有 $3$ 个子序列是合法括号序列，分别为空字符串与两个不同的子序列 ()。
输入格式
第一行，一个正整数 $n$，表示字符串 $S$ 的长度。
第二行，长度为 $n$ 的仅包含 ( 与 ) 的字符串 $S$。
输出格式
输出一行，一个整数，表示 $S$ 的合法括号子序列的数量对 $10^{9}$ 取模的结果。
样例说明
样例 1
输入：
6
))(()(
输出：
3样例 2
输入：
34
((((((((((((((((()))))))))))))))))
输出：
333606220数据范围
对于 40% 的测试点，保证 $1≤n≤400$。
对于所有测试点，保证 $1≤n≤2000$。